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DL

[선형대수학] 랭크의 활용

 

1달 전에 건강 정보로 NLP 관련 연구를 하는 교수님과 면담을 한 적이 있다. 선형대수를 공부한지 오래되기도 하였고, 공부를 하면서 통찰이 부족했던 터라 1달 내내 교수님이 던지셨던 질문에 풀리지 않은 의문점이 남아있었다. 고민만 하면 무엇도 이뤄지지 않지 않은가. 그래서 Chat-GPT에 물어봤다. 랭크의 활용

 

 

[나의 궁금증]

1명의 환자에 대한 건강 정보가 100000개의 벡터로 임베딩 되어 있고, 100000명의 사람이 있어서 총 100000*100000 사이즈의 행렬이 있어. 이때 이 행렬을 A라고 하고, A의 랭크는 10이야. 이랬을 때 이 행렬이 의미하는 바가 무엇인지 궁금해. 그리고 이 행렬을 k-means clustering을 통해 군집화한다고 했을 때 적절한 k가 어떻게 될지, 그리고 그 이유가 무엇인지도 알려줄 수 있겠니?

 

[답변]

주어진 문제를 분석해보면, 100000개의 벡터로 임베딩된 1명의 환자에 대한 건강 정보를 100000명의 사람들에 대해 측정한 것으로 보입니다. 따라서 100000 x 100000 크기의 행렬 A는 각 사람들 간의 건강 정보의 상호 작용을 나타냅니다. 이때 A의 랭크가 10인 경우, A의 열공간(column space)은 10차원으로 구성됩니다. 즉, 건강 정보의 상호 작용은 10개의 주요 요소(component)로 구성된다는 의미입니다.

k-means clustering을 적용하기 전에, A의 크기가 매우 크기 때문에 차원 축소(dimensionality reduction) 기법을 사용하여 데이터를 줄이는 것이 좋습니다. 예를 들어, PCA(principal component analysis)를 사용하여 데이터를 10차원으로 줄일 수 있습니다. 그리고 k-means clustering을 적용할 때, 적절한 k의 값을 결정하는 것은 데이터의 특성과 분포에 따라 다릅니다.

일반적으로 k의 값은 엘보우 방법(elbow method)을 사용하여 결정합니다. 이 방법은 k를 1부터 시작하여 군집 내 제곱합(SSE, Sum of Squared Errors)의 증가율이 급격히 감소하는 지점, 즉 그래프에서 꺾이는 지점을 찾아 결정합니다. 적절한 k의 값은 SSE의 감소량이 둔화되는 지점이며, 이때의 k값을 선택합니다.

하지만 이 문제에서는 데이터의 크기가 매우 크기 때문에 k-means clustering을 직접 적용하는 것이 어렵습니다. 대신에, 대규모 데이터를 처리할 수 있는 클러스터링 알고리즘을 사용하는 것이 좋습니다. 예를 들어, Mini-Batch K-Means 알고리즘을 사용하여 대규모 데이터를 처리할 수 있습니다. 이 알고리즘은 데이터를 작은 배치(batch)로 나누어 군집화를 수행합니다. 적절한 k의 값은 엘보우 방법을 사용하여 결정할 수 있습니다.


[다시 질문]

아 내가 이 말을 추가로 설명하지 못했네. 각 행벡터가 한 환자의 정보야. 이렇게 해도 랭크가 의미하는 바가 달라지지 않니?

[다시 답변]

네, 각 행벡터가 한 환자의 정보를 나타내는 경우에도 A의 랭크는 여전히 건강 정보의 상호 작용을 나타냅니다. 행벡터가 한 환자의 정보를 나타내는 경우, 행렬 A의 크기는 100000 x N이 됩니다. 여기서 N은 벡터의 차원입니다.

랭크는 행렬에서 독립적인 열의 개수, 즉 열공간의 차원을 나타냅니다. 따라서 A의 랭크가 10이라면, 열공간(column space)은 10차원으로 구성되며, 건강 정보의 상호 작용은 10개의 주요 요소로 구성된다는 의미입니다.

즉, 각각의 행벡터가 한 환자의 정보를 나타내는 경우에도 A의 랭크는 열공간의 차원을 나타내므로, 동일한 의미를 가집니다.

 

[결론]

랭크는 행렬에서 독립적인 열의 개수, 즉 열공간의 차원을 나타낸다. 따라서 1000개든 10000개든 행렬의 랭크가 주어진다면, 열공간의 차원을 알 수 있고, 이를 통해 행렬의 벡터가 몇 개의 차원으로 구성되는지 알 수 있다는 점이다.

 

K-means clustering은 행렬의 크기에 영향을 받고, 이 때문에 크기가 크다면 차원 축소 과정이 필요하다. 클러스터링은 k를 1부터 점점 증가시키며 군집 내 제곱합의 감소량이 급격히 둔화되는 지점에서 k를 선택해야 한다.

 

현재의 케이스는 100000*100000형태로 행렬이 주어져 있으므로, 큰 데이터에도 연산을 잘 처리할 수 있는 mini-batch k-means clustering을 고려하는 것이 좋을 것 같다고 한다.

 

 

 

비록 챗지피티에게 도움을 받았지만, 오래도록 묵은 고민에 대한 답을 찾을 수 있어 기쁘다.

 

내 힘으로 Self-supervised learning을 공부하는 그 때가 오길 바라며 !

강화학습도 공부해보고 싶다 !!

그 전에 수학적 베이스, 영어 실력도 키우고,,, 구현 능력도 키우고 !

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